Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики.
Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе:
А = А
Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:
A & ¬A = 0
Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина:
A v ¬A = 1
Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:
¬ ¬A = A
Правила алгебраических преобразований
Кроме логических законов, важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют правила алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.
Законы де Моргана:
¬(A v B)= ¬А & ¬В ¬(A & B)= ¬А v ¬В
Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:
Логическое умножение Логическое сложение
A & B = B & A A v B = A v B
Правило ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:
Логическое умножение Логическое сложение
(A & B) & C = A & (B & C) (A v B) v C = A v (B v C)
Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:
Дистрибутивность умножения Дистрибутивность сложения
относительно умножения относительно сложения
(a x b) + (a x c) = a x (b + c)
(A & B) v (A & C) = A & (B v C) (A v B) & (A v C) = A v (B & C)
Рассмотрим в качестве примера применения законов логики и правил алгебры логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:
(А &. В) v (A & ¬В).
Воспользуемся правилом дистрибутивности и вынесем за скобки А:
(А & В) v (А & ¬В) = А & (В v ¬В).
По закону исключенного третьего В v ¬В = 1, следовательно:
А & (В v ¬B) = А & 1 = А.
Комментариев нет:
Отправить комментарий
Комментарии просматриваются модератором.