27 февр. 2011 г.

Основные законы логики

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выра­жений в соответствие с законами логики.

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно са­мому себе:
А = А

Закон непротиворечия. Высказывание не может быть од­новременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Сле­довательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:  
A & ¬A = 0

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означа­ет, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина:  
A v ¬A = 1

Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать неко­торое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: 
¬ ¬A = A


Правила алгебраических преобразований
Кроме логических законов, важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют правила алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.
Законы де Моргана:
¬(A v B)= ¬А & ¬В                                ¬(A & B)= ¬А v  ¬В

Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказыва­ний можно менять местами логические переменные при опе­рациях логического умножения и логического сложения:
Логическое умножение      Логическое сложение
A & B = B & A                          A v B = A v B

Правило ассоциативности. Если в логическом выраже­нии используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пре­небрегать скобками или произвольно их расставлять:
Логическое умножение                Логическое сложение
(A & B) & C = A & (B & C)          (A v B) v C = A v (B v C)

Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгеб­ры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:
Дистрибутивность умножения          Дистрибутивность сложения
       относительно умножения                   относительно сложения
     (a x b) + (a x c) = a x (b + c)
(A  & B) v (A & C) = A & (B v C)                (A v B) & (A  v  C) = A v (B & C)

Рассмотрим в качестве примера применения законов ло­гики и правил алгебры логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:
(А &. В) v (A  & ¬В).
Воспользуемся правилом дистрибутивности и вынесем за скобки  А:
                                   (А & В) v (А & ¬В) = А & (В v ¬В).
По закону исключенного третьего В v ¬В = 1, следователь­но:
                                       А & (В v ¬B) = А & 1 = А.

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Комментарии просматриваются модератором.